การใช้ทฤษฎีกราฟในการบริหารโครงการ

• แนวคิดพื้นฐาน

• บทบาทของทฤษฎีกราฟในการวางแผนโครงการ

• การจัดการโครงการและทฤษฎีกราฟ

• วิธีเส้นทางวิกฤตด้วยทฤษฎีกราฟ

• แผนภาพเครือข่ายในทฤษฎีกราฟ

• การจัดสรรทรัพยากรโดยใช้ทฤษฎีกราฟ

• วิธีแก้ปัญหาเชิงทฤษฎีกราฟสำหรับโครงการที่ซับซ้อน

• ปัญหาสะพานเจ็ดแห่งของ Koenigsberg

• ตัวอย่างเส้นทางวิกฤต #1

• ตัวอย่างเส้นทางวิกฤต #2

• แปลว่า ปัญหาพนักงานขายรถ

• ตัวอย่างการระบายสีกราฟ

• ตัวอย่างปก Vertex

ที่แกนหลัก ทฤษฎีกราฟจำลองความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุโดยใช้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ โหนด จุดยอด ขอบ และส่วนโค้งเป็นตัวแทนของวัตถุเหล่านี้

เครือข่ายทางสังคมเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของทฤษฎีกราฟ ในนั้น โหนดคือผู้คน และขอบคือปฏิสัมพันธ์ระหว่างกัน

ทฤษฎีกราฟ ซึ่งศึกษาการทำงานร่วมกันของโหนดและเอดจ์ในเครือข่าย เริ่มขึ้นในปี 1736 เมื่อลีออนฮาร์ด ออยเลอร์แก้ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดของเคอนิกส์แบร์ก

เส้นเชื่อมเชื่อมต่อจุดยอดแต่ละคู่ที่อยู่ติดกันตามเส้นทางของกราฟ ในทฤษฎีกราฟ เส้นทางที่สั้นที่สุดมักเป็นเส้นทางที่สำคัญที่สุด

กราฟสามารถกำหนดทิศทางหรือไม่กำหนดทิศทางก็ได้:

• ขอบจากโหนด A ถึงโหนด B เหมือนกันในกราฟที่ไม่มีทิศทาง

• ในกราฟกำกับ (หรือที่เรียกว่าไดกราฟ) ขอบมีทิศทาง ดังนั้นขอบจากโหนด A ถึงโหนด B จะแตกต่างกันไปจากโหนด B ถึงโหนด A

ทฤษฎีกราฟมีคำศัพท์และคุณสมบัติทางเทคนิคมากมาย เช่น การวนซ้ำ ขอบหลายมุม จุดยอดประชิด องศาจุดยอด กราฟย่อย และอื่นๆ องค์ประกอบและหลักการเหล่านี้มีการประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริงในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ การวิจัยเชิงปฏิบัติการ ชีวสารสนเทศ และการจัดการโครงการ

แนวคิดที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือกราฟถ่วงน้ำหนัก ซึ่งแต่ละขอบมีค่าหรือ "น้ำหนัก" น้ำหนักสามารถระบุระยะทางหรือค่าใช้จ่ายเมื่อวางแผนเส้นทาง

ทฤษฎีกราฟให้กรอบที่มีประสิทธิภาพสำหรับการศึกษาและอธิบายระบบที่ซับซ้อน เช่น การจัดการและการวางแผนโครงการ

แนวคิดพื้นฐาน

ทฤษฎีกราฟขึ้นอยู่กับจุดยอด (โหนด) และขอบ (หรือส่วนโค้ง) จุดยอดและขอบประกอบกันเป็นกราฟ ซึ่งเป็นคำอธิบายเชิงนามธรรมของการเชื่อมต่อและการโต้ตอบ

• จุดยอดและขอบ: จุดยอดแสดงถึงเอนทิตีหรือวัตถุ เส้นเชื่อมเชื่อมต่อจุดยอดสองจุด เมืองเป็นจุดยอดของเครือข่ายการขนส่ง และถนนที่เชื่อมระหว่างเมืองคือขอบ

• กราฟที่มีทิศทางและไม่มีทิศทาง: ลูกศรชี้ไปที่กราฟที่มีทิศทาง กราฟที่ไม่มีทิศทางเป็นแบบสองทิศทาง Twitter เป็นกราฟกำกับ (ผู้ใช้ A ติดตามผู้ใช้ B ไม่ใช่ในทางกลับกัน) ผู้ติดต่อโทรเลขเป็นกราฟที่ไม่มีทิศทาง (การเชื่อมต่อซึ่งกันและกัน)

  กราฟถ่วงน้ำหนัก

• กราฟถ่วงน้ำหนัก จะกำหนดค่าให้กับขอบตามระยะทาง ค่าใช้จ่าย แบนด์วิธ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น ระยะทางหรือเวลาเดินทางระหว่างเมืองในเครือข่ายการขนส่งสามารถชั่งน้ำหนักได้

• เส้นทางและวงจร: เส้นทางคือลำดับของจุดยอดที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบ วัฏจักรเริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดยอดเดียวกัน เส้นทางการจัดส่งของคลังสินค้าเป็นวัฏจักร

• องศา: องศาของจุดยอดคือจำนวนขอบ กราฟกำกับมีองศาอินพุตและเอาต์พุต (จำนวนขอบขาออก) ในกราฟเครือข่ายสังคม ระดับของจุดยอดสามารถบ่งบอกถึงความสัมพันธ์ของบุคคลได้

• ความใกล้เคียงและอุบัติการณ์: ขอบเชื่อมต่อจุดยอดที่อยู่ติดกัน ขอบตกกระทบมีจุดยอดร่วมกัน บนกราฟเครือข่ายเมือง ถนนที่ตัดผ่านจะบรรจบกันในเมืองและเชื่อมต่อเมืองใกล้เคียงโดยตรง

• กราฟย่อย: กราฟย่อยคือส่วนกราฟที่มีจุดยอดและขอบที่เกี่ยวข้อง อาจเป็นส่วนย่อยของเครือข่าย

• การเชื่อมต่อ: กราฟจะเชื่อมต่อกันหากจุดยอดใดๆ สามารถเข้าถึงจุดอื่นๆ ได้ เครือข่ายสังคมเชื่อมต่อกันถ้าทุกคนสามารถเข้าถึงลิงก์ "ซึ่งกันและกัน" ตามลำดับ

• ต้นไม้และป่า: ต้นไม้เป็นกราฟที่เชื่อมต่อกันโดยไม่มีวัฏจักร ป่าเป็นที่รวมของต้นไม้ ตัวอย่างเช่น โครงสร้างองค์กรของบริษัทสามารถแสดงเป็นต้นไม้โดยมี CEO เป็นราก

การรู้แนวคิดพื้นฐานเหล่านี้ช่วยในการใช้ทฤษฎีกราฟในการจัดการและการวางแผนโครงการ

บทบาทของทฤษฎีกราฟในการวางแผนโครงการ

การวางแผนโครงการเป็นตัวอย่างที่สำคัญซึ่งงานจะถูกจัดลำดับ และกำหนดเส้นตายเพื่อให้มั่นใจว่าจะเสร็จสิ้นอย่างมีประสิทธิภาพ

• การสร้างแบบจำลองงานโครงการเป็นกราฟ: การวางแผนโครงการสร้างแบบจำลองงานเป็นจุดยอดและการพึ่งพาเป็นขอบ สิ่งนี้จะสร้างกราฟกำกับหรือเครือข่ายโครงการที่มีการสั่งงาน

• การระบุการพึ่งพา: การพึ่งพางานจะแสดงเป็นขอบในกราฟโครงการ ขอบเขตจากงาน A ถึงงาน B บ่งชี้ว่างาน B ไม่สามารถเริ่มได้จนกว่างาน A จะเสร็จสิ้น การวางฐานรากต้องมาก่อนการก่อผนังในโครงการก่อสร้าง

• เส้นทางและเส้นทางวิกฤต: เส้นทางคือลำดับของงานโครงการตั้งแต่ต้นจนจบ เส้นทางที่ยาวที่สุดบนกราฟคือเส้นทางวิกฤติ ซึ่งระบุเวลาที่สั้นที่สุดในการดำเนินโครงการให้เสร็จสิ้น ความล่าช้าใดๆ ในงานเส้นทางที่สำคัญจะทำให้โครงการล่าช้า

• การกำหนดลำดับงาน: โมเดลกราฟกำกับสามารถระบุลำดับงานได้ จุดยอดที่ไม่มีขอบเข้ามาสามารถเริ่มต้นได้ทันที แต่จุดอื่นๆ ต้องรอจนกว่างานเบื้องต้นจะเสร็จสิ้น

• การจัดสรรทรัพยากร: สามารถถ่วงน้ำหนักจุดยอดเพื่อแสดงทรัพยากรงานได้ สิ่งนี้ช่วยระบุความขัดแย้งของทรัพยากรและเพิ่มประสิทธิภาพการจัดสรรทรัพยากร

• การประเมินความเสี่ยง: การเชื่อมต่อกราฟและเส้นทางสามารถเปิดเผยความเสี่ยงและคอขวดได้ ตัวอย่างเช่น งานที่มีหลายงานที่ต้องพึ่งพากันอาจมีความเสี่ยง

• การตรวจสอบความคืบหน้า: สามารถติดตามความคืบหน้าของโครงการได้บนกราฟ การทำเครื่องหมายงานที่เสร็จสมบูรณ์จะแสดงสถานะของโครงการและปัญหา

• อัพเดทกำหนดการโครงการ: เส้นเวลาสามารถแก้ไขได้เพื่อวางแผนและติดตามโครงการเมื่องานเสร็จสมบูรณ์แบบไดนามิก

ทฤษฎีกราฟช่วยอำนวยความสะดวกในการวางแผนโครงการอย่างเป็นระบบ การจัดการทรัพยากร และการตัดสินใจ

การจัดการโครงการและทฤษฎีกราฟ

ทฤษฎีกราฟช่วยให้ผู้จัดการโครงการตัดสินใจ เพิ่มประสิทธิภาพ และลดความเสี่ยง

• โครงการเครือข่าย. วงจรชีวิตของโครงการจะแสดงเป็นกราฟ แต่ละงานเป็นจุดสุดยอด ขอบแสดงการพึ่งพากันทำให้เห็นภาพขั้นตอนการทำงาน กราฟโครงการพัฒนาซอฟต์แวร์สามารถประกอบด้วยข้อกำหนด การออกแบบ การเข้ารหัส การทดสอบ และการปรับใช้

• การตัดสินใจ: กราฟที่ออกแบบมาอย่างดีช่วยปรับปรุงกระบวนการตัดสินใจ ผู้จัดการสามารถจัดลำดับความสำคัญของงาน ระบุคอขวด และมอบหมายทรัพยากร ระดับจุดสุดยอดช่วยในการระบุงานที่ต้องพึ่งพาซึ่งต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษ

• การจัดการเวลา: สามารถกำหนดระยะเวลาของงานให้กับขอบแต่ละด้านได้ การปรับกราฟโครงการให้เหมาะสมด้วยขอบถ่วงน้ำหนักช่วยปรับปรุงการจัดการเวลา

• การลดความเสี่ยง: งานที่มีการพึ่งพาสูงหรือบนเส้นทางวิกฤตสามารถระบุได้โดยการตรวจสอบกราฟ มาตรการเชิงรุกสามารถบรรเทาผลกระทบเหล่านี้ได้

• การเพิ่มประสิทธิภาพทรัพยากร: กำลังคน อุปกรณ์ และงบประมาณสามารถให้น้ำหนักบนกราฟสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพทรัพยากร

• การตรวจสอบโครงการ: กราฟไม่คงที่ งานที่เสร็จสมบูรณ์สามารถตั้งค่าสถานะหรือแยกออกเมื่อโครงการดำเนินไป โดยให้สถานะภาพตามเวลาจริง สิ่งนี้ช่วยติดตามความคืบหน้าและตรวจจับการเบี่ยงเบนจากแผนได้อย่างรวดเร็ว

• การจัดการการเปลี่ยนแปลง: กราฟสามารถสะท้อนถึงงานใหม่หรือการพึ่งพาเมื่อขอบเขตเปลี่ยนแปลง ทำให้สามารถจัดการโครงการแบบไดนามิกได้

ทฤษฎีกราฟช่วยให้ผู้จัดการโครงการเห็นภาพและจัดการกิจกรรมและการพึ่งพาที่ซับซ้อน

วิธีเส้นทางวิกฤตด้วยทฤษฎีกราฟ

Critical Path Method (CPM) วางแผนงานโครงการในการจัดการโครงการ เขาค้นพบ "เส้นทางวิกฤต" โดยใช้ทฤษฎีกราฟ

เส้นทางวิกฤตเป็นเส้นทางที่ยาวที่สุดจากโหนดเริ่มต้นไปยังโหนดสิ้นสุดในกราฟโครงการที่กำกับและถ่วงน้ำหนัก ความยาวสอดคล้องกับเวลาของโครงการ

• การคำนวณเส้นทางวิกฤต: CPM คำนวณไปข้างหน้าและย้อนกลับ การเดินเริ่มต้นถึงสิ้นสุดจะกำหนดเวลาเริ่มต้นและสิ้นสุดของโครงการ

• นัยของการจัดกำหนดการ: เวลาเสร็จสิ้นโครงการขึ้นอยู่กับเส้นทางวิกฤต ความล่าช้าของงานถนนสายหลักจะทำให้โครงการล่าช้า ความล่าช้าของงานเส้นทางที่ไม่สำคัญอาจไม่ส่งผลกระทบต่อกำหนดการของโครงการ ตราบใดที่ไม่เกินเวลาที่กำหนด (ค่าเผื่อการล่าช้า)

• การจัดการทรัพยากร: งานในเส้นทางที่สำคัญมักจะได้รับเงินทุนอย่างระมัดระวัง เนื่องจากผลกระทบโดยตรงต่อลำดับเวลาของโครงการ ผู้จัดการโครงการสามารถจัดสรรทรัพยากรได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยการจดจำงานเหล่านี้

• การจัดการความเสี่ยง: วิธีเส้นทางวิกฤตจะระบุพื้นที่ที่มีความเสี่ยงสูง ความเสี่ยงของเส้นทางวิกฤตอาจทำให้โครงการล่าช้าได้ ดังนั้นงานเหล่านี้จำเป็นต้องลดความเสี่ยงอย่างระมัดระวัง

• การควบคุมโครงการ: สามารถติดตามความคืบหน้าของโครงการได้โดยการตรวจสอบงานเส้นทางที่สำคัญ โครงการมีแนวโน้มที่จะเสร็จตรงเวลาหากงานหลักเสร็จทันเวลา

แผนภาพเครือข่ายในทฤษฎีกราฟ

ไดอะแกรมเครือข่ายเป็นไปตามทฤษฎีกราฟทางคณิตศาสตร์ ช่วยวิเคราะห์และเพิ่มประสิทธิภาพระบบที่ซับซ้อน

• การก่อตัวของไดอะแกรมเครือข่าย: แต่ละโหนดเป็นจุดยอดของไดอะแกรมเครือข่าย และความสัมพันธ์หรือการโต้ตอบของโหนดนั้นเป็นขอบ จุดยอดอาจแสดงถึงเสาสัญญาณและสายเคเบิลข้อมูลเอดจ์ของเครือข่ายโทรคมนาคม

• เครือข่ายถ่วงน้ำหนัก: หากมีการวัดความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุในเชิงปริมาณ เช่น ระยะทางไปยังเมืองหรือต้นทุนโครงการ ค่าเหล่านี้สามารถกำหนดให้เป็นน้ำหนักต่อขอบในไดอะแกรมเครือข่าย

• เครือข่ายโฟลว์: ไดอะแกรมเครือข่ายโฟลว์แสดงระบบที่รายการ ข้อมูล หรือการรับส่งข้อมูลเคลื่อนผ่านเครือข่าย ในไดอะแกรมดังกล่าว ขอบแต่ละด้านมีความจุ

• การระบุรูปแบบ: ไดอะแกรมเครือข่ายสามารถระบุรูปแบบและแนวโน้มของระบบ เช่น ภูมิภาคหรือโหนดที่มีการเชื่อมต่อสูงซึ่งมีการเชื่อมต่อจำนวนมากเป็นพิเศษ สิ่งนี้มีความสำคัญในหลาย ๆ ด้าน ตั้งแต่การวิเคราะห์โซเชียลมีเดียไปจนถึงการพัฒนาโครงสร้างพื้นฐาน

• การเพิ่มประสิทธิภาพ: อัลกอริทึมของทฤษฎีกราฟ เช่น เส้นทางที่สั้นที่สุดและแผนภูมิการขยายขั้นต่ำสุดช่วยแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพในไดอะแกรมเครือข่าย อัลกอริธึมเส้นทางที่สั้นที่สุดสามารถค้นหาเส้นทางการจัดส่งที่เร็วที่สุดในเครือข่ายโลจิสติกส์

• การแก้ไขปัญหา: ไดอะแกรมเครือข่ายช่วยให้คุณมองเห็นปัญหาต่างๆ เช่น คอขวดในการผลิตหรือจุดอ่อนในเครือข่ายคอมพิวเตอร์

การจัดสรรทรัพยากรโดยใช้ทฤษฎีกราฟ

ทฤษฎีกราฟช่วยให้ผู้จัดการโครงการจัดสรรทรัพยากร การจัดสรรทรัพยากรสามารถปรับปรุงประสิทธิภาพการทำงาน ประหยัดเงิน และทำให้โครงการเสร็จสมบูรณ์

• การแสดงทรัพยากร: งานหรือกระบวนการสามารถแสดงด้วยจุดยอดในกราฟถ่วงน้ำหนัก และน้ำหนักสามารถระบุทรัพยากรได้ เวลา เงิน อุปกรณ์ และบุคลากรคือทรัพยากร

• การระบุความขัดแย้งของทรัพยากร: การวิเคราะห์กราฟสามารถระบุความขัดแย้งของทรัพยากรหรือการใช้ทรัพยากรมากเกินไป ข้อขัดแย้งของทรัพยากรเกิดขึ้นเมื่องานสองงานที่ต้องใช้ทรัพยากรเดียวกันได้รับการจัดกำหนดการในเวลาเดียวกัน

• การกระจายที่เหมาะสมที่สุด: การจัดสรรทรัพยากรสามารถเพิ่มประสิทธิภาพได้โดยใช้อัลกอริทึมกราฟ เช่น อัลกอริทึมการไหลสูงสุด วิธีนี้สามารถค้นหาการกระจายวัตถุดิบที่มีประสิทธิภาพสูงสุดจากคลังสินค้า (โหนดต้นทาง) ไปยังโรงงานในสถานการณ์จำลองการผลิต (โหนดปลายทาง)

• การจัดลำดับความสำคัญของงาน: ระดับสูงสุดสามารถระบุความต้องการทรัพยากรได้ จุดยอดระดับสูงอาจใช้ทรัพยากรมาก ดังนั้น ให้จัดลำดับความสำคัญในเวลาที่แจกจ่าย

• การเพิ่มประสิทธิภาพกำหนดการ: เมื่อเวลาคือทรัพยากร การจัดกำหนดการงานคือการจัดสรรทรัพยากร การปรับกำหนดการให้เหมาะสมโดยใช้วิธีเส้นทางวิกฤตทำให้มั่นใจได้ว่างานจะไม่ใช้ทรัพยากรจนหมด

• การตรวจสอบการจัดสรร: การติดตามทรัพยากรมีความสำคัญเมื่อโครงการเติบโตขึ้น กราฟการใช้ทรัพยากรสามารถแสดงสถานะการจัดสรรและการใช้งานมาก/น้อย

• การจัดสรรทรัพยากร: กราฟสามารถเปลี่ยนแปลงได้ และจัดสรรทรัพยากรใหม่เมื่องานหรือทรัพยากรใหม่ไม่พร้อมใช้งาน รักษากราฟโครงการและช่วยในการจัดการทรัพยากรแบบไดนามิก

วิธีแก้ปัญหาเชิงทฤษฎีกราฟสำหรับโครงการที่ซับซ้อน

ทฤษฎีกราฟช่วยในการวางแผนและดำเนินโครงการที่ซับซ้อนด้วยกิจกรรมที่เชื่อมโยงถึงกันมากมาย วิธีการและหลักการของทฤษฎีกราฟสามารถช่วยจัดการโครงการดังกล่าวได้

• การสร้างแบบจำลองโครงสร้างโครงการ: งานคือจุดยอด และการพึ่งพาคือขอบในกราฟโครงการที่ซับซ้อน กราฟโครงการนี้แสดงความสัมพันธ์ของงานเพื่อความเข้าใจและการวางแผนที่ดียิ่งขึ้น

• การจัดกำหนดการโครงการ: ลำดับงานจะกำหนดเวลาขั้นต่ำในการดำเนินโครงการให้เสร็จสมบูรณ์ ผู้จัดการโครงการสามารถเพิ่มประสิทธิภาพการจัดกำหนดการเพื่อลดความล่าช้า

• การจัดสรรทรัพยากร: แนวทางของทฤษฎีกราฟเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุดในการจัดสรรทรัพยากร สิ่งนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าจะไม่มีงานใดถูกจำกัดด้วยทรัพยากรและเพิ่มประสิทธิภาพของโครงการ

• วิธีจัดการกับความซับซ้อน: ทฤษฎีกราฟทำให้งานที่ซับซ้อนง่ายขึ้นด้วยงานและการพึ่งพาจำนวนมาก สามารถจัดระเบียบงานเป็นกราฟย่อยหรือโมดูลตามความสัมพันธ์เพื่อการจัดการที่ดีขึ้น

• การแก้ปัญหา: กราฟสามารถแก้ปัญหาต่างๆ ในโครงการได้ ตัวอย่างเช่น เส้นทางลอจิสติกส์สามารถปรับให้เหมาะสมโดยใช้ปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดและการกระจายงานผ่านทรัพยากร - โดยใช้ปัญหาการจับคู่สูงสุด

• การตัดสินใจ: การแสดงภาพโครงสร้างที่เชื่อมต่อกันของโครงการช่วยในการตัดสินใจเชิงกลยุทธ์

• การจัดการการเปลี่ยนแปลง: โครงการแบบไดนามิกมักจะเปลี่ยนแปลง ทฤษฎีกราฟทำให้ง่ายต่อการรวมและแสดงภาพการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ สิ่งนี้ช่วยในการประเมินผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงและจัดการได้อย่างมีประสิทธิภาพ

• การตรวจสอบและควบคุม: ทฤษฎีกราฟช่วยในการตัดสินใจเชิงกลยุทธ์โดยการแสดงภาพโครงสร้างที่เชื่อมต่อกันของโครงการ

ปัญหาสะพานเจ็ดแห่งของ Koenigsberg

นี่เป็นปัญหาทางประวัติศาสตร์ที่ Leonhard Euler แก้ไขในศตวรรษที่ 18 โดยเริ่มต้นสาขาทฤษฎีกราฟ

ในปรัสเซีย Königsberg เป็นมหานครที่สร้างขึ้นรอบแม่น้ำ Pregel โดยมีเกาะสองเกาะเชื่อมต่อกับแผ่นดินใหญ่ด้วยสะพานเจ็ดแห่ง คำถามคือว่าการเดินรอบเมืองเป็นไปได้หรือไม่ โดยข้ามสะพานแต่ละแห่งเพียงครั้งเดียว

ออยเลอร์เข้าหาคำถามนี้ในเชิงนามธรรมและย่อให้เป็นองค์ประกอบหลัก:

• He presented each land mass (two islands and two parts of the mainland) as nodes (tops).

• Each of the seven bridges was represented by an edge connecting two nodes.

สิ่งนี้ก่อตัวเป็นกราฟแรก และความท้าทายคือการหาเส้นทางที่ผ่านขอบแต่ละด้านเพียงครั้งเดียว ปัจจุบันเส้นทางดังกล่าวเรียกว่าเส้นทางออยเลอร์

เป็นผลให้กราฟมีลักษณะดังนี้:

   A
 / | \
B  |  C
|\ | /|
|  D  |
|_/ \_|

• A, B, C และ D เป็นตัวแทนของมวลแผ่นดิน

• เส้นที่เชื่อมต่อตัวอักษรเหล่านี้แสดงถึงสะพาน

ออยเลอร์สังเกตเห็นว่าหลังจากการเข้าสู่โหนดแต่ละครั้งก็จำเป็นต้องออกจากโหนดซึ่งต้องใช้ขอบเป็นเลขคู่ นอตใน Koenigsberg มีขอบเป็นเลขคี่ซึ่งไม่อนุญาตให้ใครเดินไปรอบ ๆ สะพานทั้งหมดพร้อมกันโดยไม่ทำซ้ำ

ความก้าวหน้านี้เป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีกราฟ การจัดลำดับดีเอ็นเอ การกำหนดเส้นทาง สถาปัตยกรรมเครือข่าย และฟิลด์อื่นๆ ใช้เส้นทางและสคีมาของออยเลอร์

ตัวอย่างเส้นทางวิกฤต #1

พิจารณาโครงการก่อสร้างที่เรียบง่าย:

• งาน A: วางแผน (2 วัน)

• งาน B: รับใบอนุญาต (7 วัน)

• งาน C: ซื้อวัสดุ (3 วัน)

• งาน D: วางรากฐาน (5 วัน)

• งาน E: สร้างกำแพง (6 วัน)

• งาน F: ติดตั้งหลังคา (4 วัน)

• งาน G: การติดตั้ง windows (2 วัน)

• งาน J: จิตรกรรม (3 วัน)

ตอนนี้เรายังมีการพึ่งพา:

• งาน A ต้องเสร็จก่อน B, C และ D

• งาน B, C และ D ต้องเสร็จก่อน E

• งาน E ต้องเสร็จก่อน F และ G

• งาน F และ G ต้องเสร็จก่อน J.

กราฟิก โครงการมีลักษณะดังนี้:

A(2) ---> B(7)
  |        |
  |        V
  v       E(6) ---> F(4)
C(3) ---> D(5)      |
  |        |        |
  V        V        V
G(2) <---.J(3) <----|

ในการหาระยะเวลาโครงการที่สั้นที่สุด เราจำเป็นต้องค้นหาเส้นทางที่ยาวที่สุดในกราฟนี้ หรือที่เรียกว่าเส้นทางวิกฤต นี่คือวิธี:

1. เริ่มต้นด้วยงาน A ซึ่งจะใช้เวลา 2 วัน ดังนั้นให้เขียน "2" เป็นการเริ่มต้นงาน B, C และ D อย่างเร็วที่สุด

2. ดูแต่ละงานที่เกี่ยวข้องกับ A B ใช้เวลา 7 วัน ดังนั้นงานเสร็จเร็วที่สุดคือ 2 (เวลาเริ่มต้น) + 7 = 9 C และ D มีงานเสร็จเร็วที่สุด 2 (เวลาเริ่มต้น) + 3 = 5 และ 2 (เวลาเริ่มต้น) ) + 5 = 7 ตามลำดับ

3. การเริ่มต้นเร็วที่สุดของงาน E คือเวลาสิ้นสุดล่าสุดของการขึ้นต่อกันของงาน B, C และ D ซึ่งก็คือ 9 ดังนั้น งานเสร็จเร็วที่สุดของงาน E คือ 9 (เวลาเริ่มต้น) + 6 = 15

4. งาน F และ G ขึ้นอยู่กับ E ดังนั้นการเริ่มต้นเร็วที่สุดคือ 15 และเวลาสิ้นสุดคือ 15 + 4 = 19 และ 15 + 2 = 17 ตามลำดับ

5. งาน J ขึ้นอยู่กับ F และ G ดังนั้นการเริ่มต้นเร็วสุดอยู่ระหว่าง 19 ถึง 17 ซึ่งก็คือ 19 จุดสิ้นสุดคือ 19 (เวลาเริ่มต้น) + 3 = 22

ดังนั้น ระยะเวลาโครงการที่สั้นที่สุดคือ 22 วัน และเส้นทางวิกฤตคือ A - B - E - F - J ซึ่งหมายความว่าความล่าช้าใดๆ ในงานเหล่านี้จะทำให้โครงการทั้งหมดล่าช้า

ตัวอย่างเส้นทางวิกฤต #2

ลองมาดูตัวอย่างจากอีคอมเมิร์ซ โดยเฉพาะกระบวนการดำเนินการตามคำสั่งซื้อ งานอาจรวมถึง:Task A: Get the order (1 day)

• งาน B: ตรวจสอบสินค้าคงคลัง (2 วัน)

• งาน C: จัดลำดับองค์ประกอบใหม่ (หากจำเป็น) (7 วัน)

• งาน D: เตรียมคำสั่งซื้อ (1 วัน)

• งาน E: ตรวจสอบการควบคุมคุณภาพ (1 วัน)

• งาน F: จัดส่งคำสั่งซื้อ (1 วัน)

• งาน G: การส่งมอบคำสั่งซื้อ (3 วัน)

นี่คือการพึ่งพา:

• งาน A ต้องเสร็จก่อน B และ D

• งาน B ต้องเสร็จก่อน C

• งาน C ต้องเสร็จก่อน D

• งาน B และ D ต้องเสร็จก่อน E

• งาน E ต้องเสร็จก่อน F

• งาน F ต้องเสร็จก่อน G

กราฟิก โครงการมีลักษณะดังนี้:

A(1) ---> B(2) ---> C(7) ---> D(1)
  |                            |
  |                            V
  v                           E(1) ---> F(1) ---> G(3)
D(1)
  |
  V
E(1)
  |
  V
F(1)
  |
  V
G(3)

ในการคำนวณเส้นทางวิกฤติ:

• เริ่มด้วยงาน A ซึ่งใช้เวลา 1 วัน ดังนั้น การเริ่มต้นอย่างเร็วที่สุดสำหรับงาน B และ D คือวันที่ 1

• งาน B เสร็จสิ้นเร็วที่สุดคือ 1 (เวลาเริ่มต้น) + 2 = 3 วัน

• งาน C เริ่มต้นหลังจาก B และสิ้นสุดที่ 3 (เวลาเริ่มต้น) + 7 = 10 วัน

• งาน D เริ่มหลังจากงานสุดท้าย A และ C ดังนั้นจะเริ่มในวันที่ 10 และสิ้นสุด 10 + 1 = 11 วันต่อมา

• งาน E เริ่มต้นหลังจาก B และ D โดยเริ่มในวันที่ 11 และสิ้นสุดในวันที่ 11 + 1 = 12 วัน

• งาน F เริ่มต้นหลังจาก E และสิ้นสุดที่ 12 (เวลาเริ่มต้น) + 1 = 13 วัน

• สุดท้าย งาน G เริ่มต้นหลังจาก F และสิ้นสุดที่ 13 (เวลาเริ่มต้น) + 3 = 16 วัน

ดังนั้น ระยะเวลาโครงการที่สั้นที่สุดคือ 16 วัน และเส้นทางวิกฤตคือ A - B - C - D - E - F - G ความล่าช้าใดๆ ในงานเหล่านี้จะทำให้โครงการทั้งหมดล่าช้า การวิเคราะห์นี้สามารถช่วยบริษัทอีคอมเมิร์ซจัดการกระบวนการปฏิบัติตามคำสั่งซื้อและลดเวลาการส่งมอบ

แปลว่า ปัญหาพนักงานขายรถ

จารึกการพิจารณาปัญหาอื่นจากทฤษฎีกราฟเตือนพนักงานขายรถ (TSP) ซึ่งมักจะเกิดปัญหาสถานการณ์ลอจิสติกส์และการจัดส่งในบริษัทต่อไปนี้

พิจารณาสถานการณ์ที่ผู้จัดส่งต้องส่งพัสดุไปยังสถานที่สี่แห่ง ทราบพิกัดระหว่างจุดเหล่านี้และเป้าหมายคือค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดจะแจ้งให้ทราบว่าแวะแต่ละจุดและส่งออกเริ่มต้น

สิ่งที่เกิดขึ้น:

A -> B: 10 ไมล์
A -> C: 15 ไมล์
A -> D: 20 ไมล์
B -> C: 35 ไมล์
B -> D: 25 ไมล์
C -> D: 30 ไมล์

ลองแสดงที่อยู่และระยะทางเหล่านี้ในรูปแบบกราฟ:

A--10---B
|\      |
| \     |
20 15  35
|   \   |
|    \  |
D--30---C
|
|
25
|
|
B

บนกราฟนี้ แต่ละตำแหน่งคือโหนด และแต่ละขอบแสดงถึงระยะห่างระหว่างตำแหน่งสองตำแหน่ง

ในการแก้ปัญหา TSP เราต้องค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดที่เยี่ยมชมแต่ละโหนดเพียงครั้งเดียวและกลับไปที่โหนดเริ่มต้น ในกรณีนี้ ตัวอย่างของเส้นทางที่ถูกต้องคือ A-B-C-D-A โดยมีระยะทางรวม 10 (A ถึง B) + 35 (B ถึง C) + 30 (C ถึง D) + 20 (D ถึง A) = 95 ไมล์

ลองใช้ชุดค่าผสมต่างๆ หรือใช้อัลกอริทึมที่ซับซ้อนมากขึ้นเพื่อกำหนดเส้นทางที่สั้นที่สุด หากจำนวนโหนดน้อย ให้ทดสอบชุดค่าผสมทั้งหมด สำหรับตำแหน่งอื่นๆ อาจต้องใช้อัลกอริทึมแบบฮิวริสติกหรือการประมาณ

การแก้ปัญหานี้ช่วยในการวางแผนเส้นทางได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ตัวอย่างการระบายสีกราฟ

อีกสถานการณ์หนึ่งของการจัดการการผลิตคือการวางแผนสายการประกอบโดยใช้ทฤษฎีกราฟ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในอุตสาหกรรมต่างๆ เช่น ยานยนต์ อิเล็กทรอนิกส์ เป็นต้น

ลองนึกภาพสถานการณ์สายการผลิตแบบง่ายๆ ที่เราต้องประกอบผลิตภัณฑ์ (เช่น สมาร์ทโฟน) กระบวนการนี้ประกอบด้วยงานหลายอย่าง เช่น:

• งาน A: การประกอบเมนบอร์ด

• งาน B: การติดตั้งกล้อง

• งาน C: สิ่งที่แนบมากับหน้าจอ

• งาน D: การติดตั้งส่วนประกอบ

• งาน E: การตรวจสอบคุณภาพขั้นสุดท้าย

การพึ่งพา:

• งาน A ต้องเสร็จก่อน B, C และ D

• งาน B, C และ D ต้องเสร็จก่อน E

หากเรามอบหมายงานให้กับคนงานสองคน เป้าหมายคือเพื่อกระจายงานระหว่างกันในลักษณะที่จะลดเวลาทั้งหมดที่ใช้ไป นี่คือที่มาของทฤษฎีกราฟ โดยเฉพาะแนวคิด "การลงสีกราฟ"

การระบายสีกราฟเป็นกรณีพิเศษของการติดฉลากกราฟ เป็นการกำหนดป้ายกำกับ (เรียกว่าสี) ให้กับจุดยอดของกราฟ เพื่อไม่ให้จุดยอดใกล้เคียงสองจุดมีสีเดียวกัน ในกรณีของเรา สีคือคนงาน และเราจะพยายามระบายสีกราฟ (มอบหมายงาน) เพื่อไม่ให้มีผู้ติดตามสองคน (เชื่อมโยงในกราฟ) ให้กับคนงานคนเดียวกัน

กราฟกระบวนการสร้างอาจมีลักษณะดังนี้:

    B
   / 
A - C
   \
    D
     \
      E

• วิธีหนึ่งในการระบายสีกราฟนี้: ผู้ปฏิบัติงาน 1: A, C, E

• การทำงาน 2: B, D

การกระจายนี้จัดเตรียมเวิร์กโฟลว์ที่ปราศจากข้อขัดแย้งโดยแยกกิจกรรมสำหรับผู้ปฏิบัติงานแต่ละคน

ทฤษฎีกราฟช่วยเพิ่มประสิทธิภาพการวางแผนสายการประกอบ ประหยัดเวลา ทรัพยากร และการผลิต

ตัวอย่างปก Vertex

ต่อไปนี้คือตัวอย่างจากระบบเครือข่าย: การตั้งค่าศูนย์ข้อมูลเพื่อจัดการการรับส่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตอย่างมีประสิทธิภาพ

ผู้ให้บริการอินเทอร์เน็ต (ISP) ต้องจัดตั้งศูนย์ข้อมูลระดับภูมิภาคเพื่อให้บริการที่ดีที่สุดแก่ผู้ใช้ บริการนี้ควรลดความล่าช้าและความล่าช้าในการรับส่งข้อมูล

เมืองสำคัญแต่ละแห่งในภูมิภาคเป็นโหนด เป้าหมายคือการกำหนดจำนวนศูนย์ข้อมูลที่น้อยที่สุดและการจัดวางเพื่อให้แต่ละเมืองเป็นศูนย์ข้อมูล

จุดยอดปกคลุมคือชุดของจุดยอดที่มีจุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุดที่ขอบแต่ละด้านของกราฟ

ควรมีศูนย์ข้อมูลในแต่ละขอบระหว่างสองเมือง

สมมติว่าเรามีเมืองใหญ่ 5 เมือง (A, B, C, D, E) โดยมีการเชื่อมต่อดังต่อไปนี้:

A -- B -- C
|         |
D -- E -- 

ในทฤษฎีกราฟ B, D และ E เป็นจุดยอดน้อยที่สุด ดังนั้น B, D และ E สามารถโฮสต์ศูนย์ข้อมูลได้ สิ่งนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าแต่ละเมืองเป็นทั้งศูนย์ข้อมูลหรือใกล้กับศูนย์ข้อมูล ซึ่งช่วยลดเวลาแฝงของผู้ใช้

ผู้ให้บริการอินเทอร์เน็ตสามารถวางแผนตำแหน่งที่ตั้งของศูนย์ข้อมูลของตนอย่างมีกลยุทธ์เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพบริการสำหรับผู้บริโภคทั้งหมด และลดต้นทุนโครงสร้างพื้นฐานโดยการใช้แนวคิดของการครอบคลุมจุดสุดยอด